Question

經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，東方百貨超市的一種商品在過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)算），銷售價(jià)格f（t）與時(shí)間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足f(t)=100(1+

1

t

)，銷售量g（t）與時(shí)間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足g（t）=

100+t(1≤t＜25，t∈N) 150-t(25≤t≤30，t∈N)

．
（1）試寫出該商品的日銷售金額W（t）關(guān)于時(shí)間t（1≤t≤30，t∈N）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求該商品的日銷售金額W（t）的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用W（t）=g（t）f（t），結(jié)合已知解析式，可得分段函數(shù)；
（2）利用（1）中函數(shù)，分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得日銷售金額W（t）的最大值與最小值．

解答： 解：（1）當(dāng)1≤t＜25時(shí)，W(t)=g(t)f(t)=100(100+t)(1+

1

t

)=100(t+

100

t

+101)；
當(dāng)25≤t≤30時(shí)，W(t)=g(t)f(t)=100(150-t)(1+

1

t

)=100(

150

t

-t+149)；
所以W(t)=

100(t+ 100 t +101)(1≤t＜25) 100( 150 t -t+149)(25≤t≤30)

（t∈N）…（6分）
（2）（i）當(dāng)1≤t＜25時(shí)，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)知W(t)=100(t+

100

t

+101)在區(qū)間[1，10]上單減，在區(qū)間[10，25）上單增，
因?yàn)閃（10）=12100，W（1）=20200，W（25）=13000，
所以當(dāng)t=10時(shí)，W（t）最小值為12100，當(dāng)t=1時(shí)，W（t）最大值為20200；…（9分）
（ii）當(dāng)25≤t≤30時(shí)，W(t)=100(

150

t

-t+149)，y=

150

t

和y=-t在[25，30]單減，則
W（t）在區(qū)間[25，30]單減，W（t）_max=W（25）=13000，W（t）_min=W（30）=12400；…（11分）
綜上，當(dāng)t=1時(shí)，W（t）最大值為20200；當(dāng)t=10時(shí)，W（t）最小值為12100…（13分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，確定函數(shù)模型是關(guān)鍵．