Question

已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且拋物線過點M（1，2）．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若拋物線的對稱軸為x軸，過點N（13，-2）的直線交拋物線于A，B兩點，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，求k₁•k₂的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用待定系數(shù)法，可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過點N（13，-2）的直線l的方程，代入y²=4x利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，化簡，即可求k₁•k₂的值．

解答： 解：（1）由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px或x²=2my，
又拋物線過點M（1，2），所以p=2或m=

1

4

，
所以得拋物線的方程為y²=4x或x2=

1

2

y．…（7分）
（2）由題意知拋物線的方程為y²=4x．
設(shè)過點N（13，-2）的直線l的方程為x-13=m（y+2），即x=my+2m+13，
代入y²=4x得y²-4my-8m-52=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8m-52，…（10分）
所以k1k2=

(y1-2)(y2-2)

(x1-1)(x2-1)

=

(y1-2)(y2-2)

(my1+2m+12)(my2+2m+12)

=

y1y2-2(y1+y2)+4

m2y1y2+(2m2+12m)(y1+y2)+(2m+12)2

=

-8m-52-8m+4

m2(-8m-52)+(2m2+12m)•4m+(2m+12)2

=

-16m-48

48m+144

=-

1

3

．…（15分）

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．