Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=2n+1，設(shè)函數(shù)f（n）=

an，n為奇數(shù) f( n 2 )，n為偶數(shù)

且c_n=f（2ⁿ+4），n∈N^*，則數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=

 

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Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：T₁=c₁=a₃=7；c2=f(22+4)=a₁=2×1+1=3，n≥3時，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2（2^n-2+1）+1=2^n-1+3，n≥2時，T_n=7+3+（2²+3）+（2³+3）+…+（2^n-1+3），由此能求出T_n=

7，n=1 2n+3n，n≥2

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解答： 解：由題意知：
n=1時，T₁=c₁=f（2+4）=f（3）=a₃=2×3+1=7；
c2=f(22+4)=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=2×1+1=3，
n≥3時，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）
=2（2^n-2+1）+1=2^n-1+3，
∴n≥2時，T_n=7+3+（2²+3）+（2³+3）+…+（2^n-1+3）
=1+2+2²+2³+…+2^n-1+3n+1
=

1-2n

1-2

+3n-1
=2ⁿ+3n．
∴T_n=

7，n=1 2n+3n，n≥2

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故答案為：

7，n=1 2n+3n，n≥2

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點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．