Question

試討論函數(shù)f（x）=

x

x2+1

的單調性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：分類討論,函數(shù)的性質及應用

分析：討論x＞0時，f（x）的單調性與x＜0時，f（x）的單調性即可．

解答： 解：∵x＞0時，f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2 x• 1 x

=

1

2

，
當且僅當x=1時“=”成立；
∴在x∈（0，1）時，f（x）是增函數(shù)，x∈（1，+∞）時，f（x）是減函數(shù)；
當x＜0時，f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≥

1

-2 (-x)• 1 -x

=-

1

2

，
當且僅當x=-1時“=”成立；
∴在x∈（-∞，-1）時，f（x）是減函數(shù)，x∈（-1，0）時，f（x）是增函數(shù)；
x=0時，f（0）=0；
如圖所示；
綜上，當x∈（-∞，-1）和x∈（1，+∞）時，f（x）是減函數(shù)；
當x∈（-1，0）和x∈（0，1）時，f（x）是增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的單調性問題，解題時應用分類討論的方法，結合基本不等式，并且畫出圖形，便于解得問題，是基礎題．