Question

某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績(jī)合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科目B的考試．已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩個(gè)科目成績(jī)均合格方可獲得證書．現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A每次考試成績(jī)合格的概率均為

2

3

，科目B每次考試成績(jī)合格的概率均為

1

2

．假設(shè)各次考試成績(jī)合格與否均不影響．
（1）求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率；
（2）在這項(xiàng)考試過(guò)程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率．
（2）由題意知ξ=2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（1）設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件A₁，“科目A補(bǔ)考合格”為事件A₂，
“科目B第一次考試合格”為事件B₁，“科目B補(bǔ)考合格”為事件B₂，
∴他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率為：
P（A₁B₁）=P（A₁）P（B₁）=

2

3

×

1

2

=

1

3

．
（2）由題意知ξ=2，3，4，
P（ξ=2）=

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

=

4

9

，
P（ξ=3）=

2

3

×

1

2

×

1

2

+

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

=

4

9

，
P（ξ=4）=

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

1

9

，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	4 9	4 9	1 9

Eξ=2×

4

9

+3×

4

9

+4×

1

9

=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型．