Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）的定義域為R
（1）當θ=

π

2

時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若θ∈（0，π），求當θ為何值時f（x）為偶函數(shù)．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）先把函數(shù)轉(zhuǎn)換為關于余弦的函數(shù)，進而根據(jù)誘導公式求得θ的值．

解答： 解：（1）f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=

2

sin（x+θ+

π

4

），
當θ=

π

2

時，f（x）=

2

sin（x+

3π

4

），
當2kπ+

π

2

≤x+

3π

4

≤2kπ+

3π

2

時，k∈Z，
2kπ-

π

2

≤x≤2kπ+

3π

4

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

3π

4

]（k∈Z）．
（2）f（x）=

2

sin（x+θ+

π

4

）=

2

cos（

π

2

-x-θ-

π

2

）=

2

cos（x+θ-

π

4

），
故要使函數(shù)為偶函數(shù)，則θ-

π

4

=kπ，即θ=kπ+

π

4

，
∵θ∈（0，π），
∴θ=

π

4

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．要求學生對三角函數(shù)基礎知識熟練掌握．