Question

14．已知兩圓C₁：（x-1）²+y²=9．C₂：（x+1）²+y²=1，動圓在圓C₁內(nèi)部且與圓C₁相內(nèi)切，與圓C₂向外切
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）已知A（-2，0），過A作斜率分別為k₁，k₂的兩條直線交曲線C于D，E兩點，且k₁•k₂=2，求證：直線DE過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系得CC₁+CC₂=4（定值），再根據(jù)橢圓定義得出軌跡方程；
（2）采用了“先猜后證”的方法確定直線DE所過的定點．

解答 解：（1）設(shè)動圓C的半徑為r，根據(jù)幾何關(guān)系，
動圓C與圓C₁內(nèi)切，所以r=3-CC₁，
動圓C與圓C₂外切，所以r=CC₂-1，
所以，3-CC₁=CC₂-1，即CC₁+CC₂=4（定值），
因此，點P的軌跡為橢圓，且a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
所以，圓心C的軌跡方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（x≠-2）；
（2）因為點A（-2，0）在x軸上，根據(jù)對稱性可知，直線DE所過的定點必在x軸上，
因此，可采取先猜后證的方法確定直線DE必過定點，
當(dāng)點D，E兩點無限接近時，直線DE趨于切線，此時k₁，k₂都趨于$\sqrt{2}$（或-$\sqrt{2}$），
故可設(shè)l_AE：y=$\sqrt{2}$（x+2），代入橢圓解得D（-$\frac{10}{11}$，$\frac{12\sqrt{2}}{11}$），
且點D處切線斜率k=-$\frac{b^2{x}_{D}}{a^2{y}_{D}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{16}$，
因此，橢圓在點D處的切線方程為：y-$\frac{12\sqrt{2}}{11}$=$\frac{5\sqrt{2}}{16}$（x+$\frac{10}{11}$），
令y=0，解得x=-$\frac{22}{5}$，由此可猜測：直線DE恒過定點P（-$\frac{22}{5}$，0），證明如下：
設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），過點P的直線為：x=my-$\frac{22}{5}$，聯(lián)立橢圓方程得，
25（3m²+4）y²-660my+1152=0，
所以，y₁+y₂=$\frac{660m}{25（3m^2+4）}$，y₁y₂=$\frac{1152}{25（3m^2+4）}$，
因此，k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}-\frac{12}{5}）（m{y}_{2}-\frac{12}{5}）}$
=$\frac{25{y}_{1}{y}_{2}}{25m^2{y}_{1}{y}_{2}-60m（{y}_{1}+{y}_{2}）+144}$
=$\frac{1152}{1152m^2-12×132m^2+144（3m^2+4）}$=$\frac{1152}{576}$=2（定值），符合題意，
因此，直線DE恒過定點（-$\frac{22}{5}$，0）．

點評 本題主要考查了運用橢圓的定義求軌跡方恒，以及直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、直線過定點問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．