Question

15．（1）當(dāng)0≤x≤2時，不等式一1≤tx²-2x≤1恒成立，求證：1≤t≤3；
（2）當(dāng)0≤x≤2時，不等式-1≤tx²-2x≤1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x=0時，顯然成立；由題意可得$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$≤t≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$在（0，2]恒成立，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，即可得到t的范圍，即可得證；
（2）當(dāng)x=0時，顯然成立；由題意可得$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$≤t≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$在（0，2]恒成立，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，即可得到t的范圍．

解答 （1）證明：當(dāng)0≤x≤2時，不等式一1≤tx²-2x≤1恒成立，
x=0時，-1＜0＜1成立；
即有$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$≤t≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$在（0，2]恒成立，
由$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$=-（$\frac{1}{x}$-1）²+1，1＞$\frac{1}{2}$，即有最大值為1，
則t≥1①
由$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$+1）²-1在[$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
即有最小值為（$\frac{1}{2}$+1）²-1=$\frac{5}{4}$，
則有t≤$\frac{5}{4}$②
由①②可得，1≤t≤$\frac{5}{4}$，
故1≤t≤3成立；
（2）解：當(dāng)0≤x≤2時，不等式-1≤tx²-2x≤1恒成立，
x=0時，-1＜0＜1成立；
即有$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$≤t≤$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$在（0，2]恒成立，
由$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$=-（$\frac{1}{x}$-1）²+1，對稱軸$\frac{1}{x}$=1＞$\frac{1}{2}$，即有最大值為1，
則t≥1①
由$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$+1）²-1在[$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
即有最小值為（$\frac{1}{2}$+1）²-1=$\frac{5}{4}$，
則有t≤$\frac{5}{4}$②
由①②可得，1≤t≤$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．