Question

已知關于x的方程cos2x+（4t+2）sinx=2t²+2t+1  x∈[0，

3π

2

]，恰好有三個不等實根，則實數t的取值范圍是（　�。�

• A、-1≤t≤0
• B、-1＜t≤0
• C、0≤t≤1
• D、0＜t≤1

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：對方程cos2x+（4t+2）sinx=2t²+2t+1，利用倍角公式可化為sinx=t+1或sinx=t．再利用圖象即可得出．

解答： 解：方程cos2x+（4t+2）sinx=2t²+2t+1化為1-2sin²x+（4t+2）sinx=2t²+2t+1，
化為sin²x-（2t+1）sinx+t²+t=0，即（sinx-t-1）（sinx-t）=0，
∴sinx=t+1或sinx=t．
畫出函數y=sinx，y=t，y=t+1的圖象，
由圖象可以看出：當且僅當-1≤t≤0時，函數y=sinx的圖象分別與函數y=t，y=t+1的圖象有一個交點、兩個交點．
故所求的t的取值范圍是-1≤t≤0．
故選A．

點評：本題考查了三角函數的倍角公式、三角函數的圖象與性質、方程的實數根掌握函數圖象的交點個數等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．