Question

某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為

2

3

，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為P₀（0＜P₀＜1），中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．
（Ⅰ）張三選擇方案甲抽獎(jiǎng)，李四選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，若X≤3的概率為

7

9

，求P₀；
（Ⅱ）若張三、李四兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問(wèn)：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A，則事件A的對(duì)立事件是“X=5”，由題意知，先根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式求出對(duì)立事件的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式，結(jié)合X≤3的概率為

7

9

，即可求P₀；
（Ⅱ）設(shè)張三、李四兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₁，張三、李四兩人都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₂，則這兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（2X₁），都選擇乙方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（3X₂）．根據(jù)題意知X₁～B（2，

2

3

），X₂～B（2，P₀），利用貝努利概率的期望公式計(jì)算，再分類討論，從而得出答案．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得，張三中獎(jiǎng)的概率為

2

3

，李四中獎(jiǎng)的概率為P₀，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響．
記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A，則事件A的對(duì)立事件為“X=5”，
因?yàn)镻（X=5）=

2

3

×P₀，所以P（A）=1-P（X=5）=1-

2

3

×P₀=

7

9

，
所以P0=

1

3

．
（Ⅱ）設(shè)張三、李四都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₁，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X₂，
則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（2X₁），
選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（3X₂）．
由已知可得，X₁～B（2，

2

3

），X₂～B（2，P₀），
所以E（X₁）=2×

2

3

=

4

3

，E（X₂）=2×P₀，
從而E（2X₁）=2E（X₁）=

8

3

，E（3X₂）=3E（X₂）=6P₀．
若E（2X₁）＞E（3X₂），則

8

3

＞6P₀，所以0＜P₀＜

4

9

；
若E（2X₁）＜E（3X₂），則

8

3

＜6P₀，所以

4

9

＜P₀＜1；
若E（2X₁）=E（3X₂），則

8

3

=6P₀，所以P₀=

4

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，確定X服從的分布是解題的關(guān)鍵．