Question

已知函數(shù)f（x）=x²-3x+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）設函數(shù)f（x）圖象上任意一點的切線l的斜率為k，當k的最小值為1時，求此時切線l的方程．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=1代入原函數(shù)解析式，求導后由導函數(shù)大于0求得原函數(shù)的增區(qū)間，由導函數(shù)小于0求得原函數(shù)的減區(qū)間，從而得到極值點并求得極值；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由基本不等式求得導函數(shù)的最小值，由導函數(shù)的最小值為1求得a的值，再由取最小值時的x值求出切點坐標，由點斜式得到切線l的方程．

解答： 解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，
f′(x)=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

．
由2x²-3x+1=0，得x1=1，x2=

1

2

，
由2x²-3x+1＞0，得x＜

1

2

，或x＞1，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

2

)，（1，+∞）．
由2x²-3x+1＜0，得

1

2

＜x＜1，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

2

，1)．
∴f（x）極大值為f(

1

2

)=-

5

4

-ln2；極小值為f（1）=-2；
（II）由題意知f′(x)=2x-3+

a

x

≥2

2a

-3=1，∴a=2．
此時2x=

a

x

，即2x=

2

x

，∴x=1，∴切點為（1，-2），
∴此時的切線l方程為：x-y-3=0．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)極值的求法，訓練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查了利用導數(shù)求曲線上某點處的切線方程，屬中檔題．