Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-x
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值并寫出極值點(diǎn)．
（2）若f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，求a取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=x³-x，知f′（x）=3x²-1，由f′（x）=0，得x₁=-

3

3

，x₂=

3

3

．進(jìn)而能求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值．
（2）由函數(shù)在R上是減函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)恒小于0，導(dǎo)函數(shù)為開口向下且與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)值恒小于0，即a小于0，根的判別式小于等于0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，由f（x）=x³-x，知f′（x）=3x²-1，
由f′（x）=0，得x₁=-

3

3

，x₂=

3

3

．
令f′（x）＞0，解得x＜-

3

3

或x＞

3

3

；
令f′（x）＜0，解得-

3

3

＜x＜

3

3

；
當(dāng)x=-

3

3

時(shí)，f（x）取得極大值f（-

3

3

）=

2 3

9

，
當(dāng)x=

3

3

時(shí)，f（x）取得極小值f（

3

3

）=-

2 3

9

．
（2）由f（x）=ax³-x，得到f′（x）=3ax²-1，
因?yàn)楹瘮?shù)在R上是減函數(shù)，所以f′（x）=3ax²-1＜0恒成立，
所以

a＜0 △≤0

，由△=4a≤0，解得a≤0，
則a的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的思想解決實(shí)際問題，是一道中檔題．