Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓Ω：的焦距為，且經過點．

(Ⅰ)求橢圓Ω的方程；

(Ⅱ)A是橢圓Ω與軸正半軸的交點, 橢圓Ω上是否存在兩點M、N，使得△AMN是以A為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）存在，符合條件的三角形有個.

【解析】

試題分析：先用待定系數(shù)法求出橢圓方程，因為，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于軸，設的斜率為，則的斜率為，寫出的直線方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，解出點的坐標，同理把，寫出點的坐標，求出，由，列出方程求出值.

試題解析：(Ⅰ)由題解得，．所以橢圓Ω的方程為．

(Ⅱ)由題意可知，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于軸，故可設AM所在直線的方程為，不妨設，則直線AM所在的方程為．

聯(lián)立方程消去整理得，解得，將代入可得，故點.

所以．

同理可得，由，得，

所以，則，解得或．

當AM斜率時，AN斜率；當AM斜率時，AN斜率；當AM斜率時，AN斜率．

綜上所述，符合條件的三角形有個.

考點：1.求橢圓方程；2.設而不求思想；3.靈活運用方程組和一元二次方程的根及根與系數(shù)關系；4.存在性命題的解法；