Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)存在不小于的極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，然后令極值大于等于，解出不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題等價(jià)于，對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合條件可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

此時(shí)，函數(shù)無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，令，得，

又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在時(shí)取得極小值，且極小值為.

令，即，得.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（2）當(dāng)時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于，

記，

由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，

①當(dāng)時(shí)，由可知，所以成立；

②當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)為恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以.

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而，命題成立.

③當(dāng)時(shí)，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，

記，則，當(dāng)時(shí)，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，.

，，

所以在區(qū)間內(nèi)，存在唯一的，使得，

且當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.