Question

棱長都相等的三棱錐（正四面體）ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足為O，設(shè)M是線段AO上一點，且∠BMC是直角，則

AM

MO

的值為（　�。�

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  1

  3

• D、

  1

  4

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：延長BO，交CD于點N，可得BN⊥CD且N為CD中點，設(shè)正四面體ABCD棱長為1，MO=x，在Rt△BOM中，根據(jù)BM=

2

2

，建立關(guān)于x的方程并解之，得x=

6

6

，再結(jié)合正四面體的高AO=

6

3

，得出MO=AM=

6

6

，從而得到所求的比值．

解答： 解：延長BO，交CD于點N，可得BN⊥CD且N為CD中點
設(shè)正四面體ABCD棱長為1，得
等邊△ABC中，BN=

3

2

∵AO⊥平面BCD，
∴O為等邊△BCD的中心，得BO=

3

3

Rt△ABO中，AO=

6

3

設(shè)MO=x，則Rt△BOM中，BM=

1 3 +x2

∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM=

2

2

BC，即

1 3 +x2

=

2

2

，解之得x=

6

6

由此可得AM=AO-MO=

6

6

，
∴MO=AM=

6

6

，得

AM

MO

=1
故選：A．

點評：本題給出正四面體ABCD高線上一點M，使得三角形BCM是等腰直角三角形，求M分高線的比值，著重考查了正四面體的性質(zhì)和線面垂直位置關(guān)系的認識等知識，屬于中檔題．