Question

已知平面上兩點M（-1，0），N（1，0），若曲線上存在點P使得|PM|+|PN|=4，則稱該曲線為“1?

1

2

曲線”，下列曲線中是“1?

1

2

曲線”的是

 

（將正確答案的序號寫到橫線上）
①x²+y²=4
②

x2

3

+

y2

4

=1
③

x2

25

-

y2

16

=1
④y²=8x．

Answer 1

考點：橢圓的定義

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意，動點P的軌跡是橢圓，寫出橢圓的方程以及x、y的取值范圍；
由此判定①、②、③、④中方程所表示的幾何圖形以及x、y的取值范圍，得出正確的序號．

解答： 解：根據(jù)題意，動點P的軌跡是橢圓，且焦點為M（-1，0），N（1，0），2a=4；
∴a=2，c=1，b=

3

；
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，x∈[-2，2]，y∈[-

3

，

3

]；
對于①，x²+y²=4表示圓心在原點，半徑為2的圓，且x∈[-2，2]，y∈[-2，2]，∴該圓上存在滿足條件的點P；∴①正確．
對于②，

x2

3

+

y2

4

=1表示橢圓，且x∈[-

3

，

3

]，y∈[-2，2]，∴該橢圓上存在滿足條件的點P；∴②正確．
對于③，

x2

25

-

y2

16

=1表示雙曲線，且x∈（-∞，-5]∪[5，+∞），y∈（-∞，-4]∪[4，+∞），∴該雙曲線上不存在滿足條件的點P；∴③錯誤．
對于④，y²=8x表示拋物線，且x∈[0，+∞），y∈R，∴該拋物線上存在滿足條件的點P；∴④正確．
綜上，正確的序號是①②④；
故答案為：①②④．

點評：本題考查了圓錐曲線的方程以及性質(zhì)的應用問題，解題時應熟練地掌握幾類常用的圓錐曲線方程與它們的幾何性質(zhì)，是中檔題．