Question

18．在如圖所示的正方體中．
（1）指出哪些棱與BB₁是異面直線，哪些棱與對(duì)角線BD₁是異面直線．
（2）分別求出直線DD₁與BC₁、A₁D₁及DC₁所成的角度．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征和異面直線的概念能求出結(jié)果．
（2）由DD₁∥CC₁，得∠BC₁C是直線DD₁與BC₁所成的角的大小，由此能求出直線DD₁與BC₁所成角；由A₁D₁⊥平面DCC₁D₁，能求出A₁D₁及DC₁所成的角的大�。�

解答 解：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
與BB₁是異面直線的棱有：AD、A₁D₁、CD、C₁D₁；
與對(duì)角線BD₁是異面直線的棱有：AA₁、CC₁、AD、B₁C₁、CD、A₁B₁．
（2）∵DD₁∥CC₁，∴∠BC₁C是直線DD₁與BC₁所成的角，
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC=CC₁，BC⊥CC₁，
∴∠BC₁C=45°，
∴直線DD₁與BC₁所成角為45°．
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁⊥平面DCC₁D₁，
DC₁?平面DCC₁D₁，
∴A₁D₁⊥DC₁，
∴A₁D₁及DC₁所成的角為90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線的判斷和導(dǎo)面直線所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正方體的結(jié)構(gòu)特征和異面直線的概念的合理運(yùn)用．