Question

7．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，F(xiàn)為B₁C₁的中點(diǎn)，D，E分別是棱BC，CC₁上的點(diǎn)，且AD⊥BC．
（1）求證；直線A₁F∥平面ADE；
（2）E為C₁C中點(diǎn)，能否在直線B₁B上找一點(diǎn)N，使得A₁N∥平面ADE？若存在，確定該點(diǎn)位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由F為B₁C₁的中點(diǎn)，D，E分別是棱BC，CC₁上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn)C），AD⊥BC，知A₁F∥AD，由此能證明A₁F∥平面ADE．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出在直線B₁B上存在一點(diǎn)N，且BN=3BB₁，使得A₁N∥平面ADE．

解答 （1）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵F為B₁C₁的中點(diǎn)，D，E分別是棱BC，CC₁上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn)C），
且AD⊥BC，∴D是BC中點(diǎn)．
∴A₁F∥AD，
∵A₁F?平面ADE，AD?平面ADE，
∴A₁F∥平面ADE．        
（2）在直線B₁B上找一點(diǎn)N，使得A₁N∥平面ADE，證明如下：
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵A₁B₁=A₁C₁，F(xiàn)為B₁C₁的中點(diǎn)，∴A₁F⊥B₁C₁，
∵B₁C₁∥BC，∴A₁F⊥BC，∵A₁F∥AD，AD⊥DE，F(xiàn)為B₁C₁的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC₁B₁．
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)A₁B₁=A₁C₁=2，DF=2t，BN=λBB₁，λ≥0，N（0，1，λt），
則A（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，0，0），E（0，1，t），B（0，1，0），B₁（0，1，2t），${A}_{1}（\sqrt{3}，0，2t）$，
$\overrightarrow{DA}$=（$\sqrt{3}，0，0$），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，t），$\overrightarrow{{A}_{1}N}$=（-$\sqrt{3}$，1，（λ-2）t），
設(shè)平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=y+tz=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-t，1），
∵A₁N∥平面ADE，∴$\overrightarrow{{A}_{1}N}•\overrightarrow{n}$=0-t+（λ-2）t=0，
解得λ=3，∴在直線B₁B上存在一點(diǎn)N，且BN=3BB₁，使得A₁N∥平面ADE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查使得直線平行于平面的點(diǎn)是否存在及位置的確定，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．