Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（cosθ，

2

sinθ），B（sinθ，0），其中θ∈R．
（Ⅰ）當(dāng)θ=

2π

3

，求向量

AB

的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時(shí)，求|

AB

|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把θ=

2π

3

代入，求出向量

AB

的坐標(biāo)表示；
（Ⅱ）由向量

AB

，求出|

AB

|的表達(dá)式，在θ∈[0，

π

2

]時(shí)，求出|

AB

|的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)θ=

2π

3

時(shí)，向量

AB

=（sin

2π

3

-cos

2π

3

，0-

2

sin

2π

3

）
=（

3

2

+

1

2

，-

2

×

3

2

）
=（

3 +1

2

，-

6

2

）；
（Ⅱ）∵向量

AB

=（sinθ-cosθ，-

2

sinθ），
∴|

AB

|=

(sinθ-cosθ)2+(- 2 sinθ)2

=

1-2sinθcosθ+2sin2θ

=

2-sin2θ-cos2θ

=

2- 2 sin(2θ+ π 4 )

；
∴當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時(shí)，2θ+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴sin（2θ+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴

2

sin（2θ+

π

4

）∈[-1，

2

]，
∴

2- 2 sin(2θ+ π 4 )

≤

3

，
即|

AB

|的最大值是

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角函數(shù)的運(yùn)算法則，求出正確的答案．