Question

在△ABC中，已知sinB+sinC=sinA（cosB+cosC）．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若角A所對(duì)的邊a=1，試求△ABC內(nèi)切圓半徑的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：（1）由已知等式利用正、余弦定理，化簡(jiǎn)，即可判斷△ABC的形狀；
（2）由△ABC為直角三角形，知內(nèi)切圓半徑r=

b+c-a

2

，利用角A所對(duì)的邊a=1，結(jié)合三角函數(shù)，即可求△ABC內(nèi)切圓半徑的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知等式利用正、余弦定理得b+c=a（

a2+c2-b2

2ac

+

a2+b2-c2

2ab

），…（3分）
整理得（b+c）（b²+c²-a²）=0，
∴b²+c²=a²，
∴△ABC為直角三角形，且∠A=90°．           …（6分）
（2）由△ABC為直角三角形，
知內(nèi)切圓半徑r=

b+c-a

2

=

1

2

（sinB+sinC-1）=

1

2

（sinB+cosB-1），…（11分）
∵sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

）≤

2

，
∴0＜r≤

2 -1

2

．    …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的形狀判斷，考查正、余弦定理，考查輔助角公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．