平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),橢圓上、下頂點(diǎn)分別為B1,B2.橢圓上異于于B1,B2兩點(diǎn)的任一點(diǎn)P滿足直線PB1,PB2的斜率之積等于-
1
4
,且橢圓的焦距為2
3
,直線y=kx+2與橢圓交于不同兩點(diǎn)S,T.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)求證:直線B1S與直線B2T的交點(diǎn)在一條定直線上,并求出這條定直線.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(Ⅰ)橢圓方程可化為:
x2
b2+3
+
y2
b2
=1
,設(shè)P(x,y),則
x2
b2+3
+
y2
b2
=1
,利用直線PB1,PB2的斜率之積等于-
1
4
,可得
y+b
x
y-b
x
=-
1
4
,即可求C的方程;
(Ⅱ)直線y=kx+2代入橢圓方程,取特殊直線,猜想出定直線,再證明結(jié)論即可.
解答: 解:(I)由已知B1(0,b),B2(0,-b),
∵橢圓的焦距為2
3
,
∴橢圓方程可化為:
x2
b2+3
+
y2
b2
=1

設(shè)P(x,y),則
x2
b2+3
+
y2
b2
=1
,
∵直線PB1,PB2的斜率之積等于-
1
4

y+b
x
y-b
x
=-
1
4
,
∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1
         …(4分)
( II)
y=kx+2
x2
4
+y2=1
,可得(1+4k2)x2+16kx+12=0,△>0,可得k2
3
4

設(shè)S(x1,y1),T(x2,y2),則x1+x2=-
16k
1+4k2
,x1x2=
12
1+4k2


取直線y=x+2與橢圓 
x2
4
+y2=1
 交于兩點(diǎn)S(-
6
5
,
4
5
),T(-2,0)
直線B1S:y=
1
6
x+1,直線B2T:y=-
1
2
x-1,兩條直線的交點(diǎn)為Q1(-3,
1
2

取直線y=-x+2與橢圓
x2
4
+y2=1
交于兩點(diǎn)S(
6
5
,
4
5
),T(2,0)
直線B1S:y=-
1
6
x+1,直線B2T:y=
1
2
x-1,兩條直線的交點(diǎn)為Q2(3,
1
2

若交點(diǎn)在一條直線上則此直線只能為l:y=
1
2

設(shè)直線直線B1S與直線l:y=
1
2
交點(diǎn)為Q0(x0,y0),直線B2T與直線l:y=
1
2
交點(diǎn)為Q0′(x0′,y0′),
直線B1S:y=
y1-1
x1
+1,B2T:y=
y2+1
x2
-1,
分別令y=
1
2
,可得Q0
1
2
x1
y1-1
,
1
2
),Q0′(
3
2
x2
y2+1
,
1
2
),
∴x0-x0′=
1
2
••
x1
y1-1
-
3
2
x2
y2+1
=0
∴點(diǎn)Q0(x0,y0)與Q0′(x0′,y0′)重合,
∴交點(diǎn)在直線l:y=
1
2
上…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,Rt△ABC中,∠C是直角,AD是∠BAC的平分線,已知AD=5,AC=4,求sin∠BAC的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知分別以d1,d2為公差的等差數(shù)列{an},{bn}.
(Ⅰ)若a1=1,d1=1,且存在正整數(shù)m,使得am2=bm+2009-2009,求證:d2≥80.
(Ⅱ)若a1=1,b2009=409,ak=0,bk=1600,且數(shù)列a1,a2,…ak-1,bk,bk+1,bk+2…,b2009的前n項(xiàng)和Sn滿足S2009=2012Sk+9045,求{an}的通項(xiàng)公式.
(Ⅲ)對(duì)于給定的正整數(shù)m,若a12+a2m+1=1,求S=am+1+am+2+…+a2m+1的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,已知sinB+sinC=sinA(cosB+cosC).
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)若角A所對(duì)的邊a=1,試求△ABC內(nèi)切圓半徑的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

解不等式:mx2+(m-2)x-2<0.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知一條光線從點(diǎn)A(-1,3)出發(fā),照在x軸上又反射回去,反射光線經(jīng)過(guò)B(2,7),求在x軸上光照點(diǎn)的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知扇形AOB的面積是4cm2,其周長(zhǎng)為10cm,求扇形的圓心角α的弧度數(shù)及弦AB的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在1和256中間插入3個(gè)正數(shù),使這5個(gè)數(shù)成等比,則公比為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

化簡(jiǎn)
sin(
15π
2
+α)cos(α-
π
2
)
sin(
2
-α)cos(
2
+α)
=
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案