Question

9．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且滿足a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；數(shù)列{b_n}滿足b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），b₁=1．
（1）求a_n和b_n；
（2）記數(shù)列c_n=$\frac{1}{2_{n}+4n}$，（n∈N^*），求{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁+a₂+a₃=6，a₅=5，可得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=6}\\{{a}_{1}+4d=5}\end{array}\right.$，解得a₁，d，即可得出．由于數(shù)列{b_n}滿足b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），b₁=1．利用b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁即可得出．
（2）數(shù)列c_n=$\frac{1}{2_{n}+4n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=6}\\{{a}_{1}+4d=5}\end{array}\right.$，解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∵數(shù)列{b_n}滿足b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），b₁=1．
∴b_n-b_n-1=n-1．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（n-1）+（n-2）+…+1+1
=$\frac{n（n-1）}{2}$+1．
（2）數(shù)列c_n=$\frac{1}{2_{n}+4n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$
=$\frac{n}{2n+4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”、“累加求和”方法、遞推關(guān)系由于，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．