Question

如圖，過點A（0，a）作直線l，交圓M：（x-2）²+y²=1于點B、C，在BC上取一點P，使P點滿足

AB

=λ

AC

，

BP

=λ

PC

（λ∈R），
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若點P的軌跡交圓M于點R、S，求△MRS面積的最大值．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,向量與圓錐曲線

分析：（1）分別設出P、A、B、C的坐標，求出向量的坐標，由向量共線的條件得到坐標關系，聯(lián)立直線與圓的方程，化為關于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關系得到B，C的橫坐標的和與積，表示出P點坐標，消去參數(shù)k求得P的軌跡；
（2）聯(lián)立P的軌跡方程和圓的方程，把△MRS面積轉化為兩個三角形面積的和，換元后利用函數(shù)的單調性求最值．

解答： 解：（1）設P（x，y），A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），
∵

AB

=λ

AC

，

BP

=λ

PC

（λ∈R），
∴x_B=λx_C，x-x_B=λ（x_C-x），
∴

x-xB

xC-x

=

xB

xC

，
∴x=

2xBxC

xB+xC

    ①
設過點A（0，a）的直線l的方程為y=kx+a，
聯(lián)立

y=kx+a (x-2)2+y2=1

，得（1+k²）x²+（2ak-4）x+a²+3=0．
則xB+xC=

4-2ak

1+k2

，xBxC=

a2+3

1+k2

．
代入①得：x=

a2+3

2-ak

，y=kx+a=

2a+3k

2-ak

．
消去k，得2x-ay-3=0（在圓M內的部分）；
（2）設R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），
聯(lián)立

2x-ay-3=0 (x-2)2+y2=1

，得（a²+4）y²-2ay-3=0．
y3+y4=

2a

a2+4

，y3y4=

-3

a2+4

．
則|y3-y4|=

(y3+y4)2-4y3y4

=4

a2+3 (a2+4)2

．
∴S△MRS=

1

2

×

1

2

×4

a2+3 (a2+4)2

=

a2+3 (a2+4)2

=

1 (a2+3)+ 1 a2+3 +2

．
令t=a²+3（t≥3），而函數(shù)f（t）=t+

1

t

在[3，+∞）上為增函數(shù)，
∴S△MRS≤

1 3+ 1 3 +2

=

3

4

．
此時t=3，a=0．

點評：本題考查了軌跡方程，訓練了平面向量在解題中的應用，考查了直線與圓的位置關系，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，訓練了利用函數(shù)單調性求函數(shù)最值，綜合考查了學生分析問題和解決問題的能力，考查了計算能力，是高考試卷中的壓軸題．