Question

若第一象限內的動點P（x，y）滿足

1

x

+

1

2y

+

3

2xy

=1，R=xy，則以P為圓心R為半徑且面積最小的圓的方程為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用,直線與圓

分析：利用基本不等式可得1=

1

x

+

1

2y

+

3

2xy

≥2

1 x • 1 2y

+

3

2xy

，化為(

2xy

)2-2

2xy

-3≥0，

2xy

≥3，
即xy≥

9

2

，當且僅當x=2y=3時取等號．即可得到圓心和半徑．

解答： 解：∵x，y＞0，
∴1=

1

x

+

1

2y

+

3

2xy

≥2

1 x • 1 2y

+

3

2xy

，化為(

2xy

)2-2

2xy

-3≥0，當且僅當x=2y=3時取等號．
變?yōu)?span id="6u6h3xh" class="MathJye">(

2xy

-3)(

2xy

+1)≥0，
解得

2xy

≥3，
即xy≥

9

2

，當且僅當x=2y=3時取等號．
∴圓心為(3，

3

2

)，半徑R=xy=

9

2

時，以P為圓心R為半徑的圓的面積最�。�
此時圓的方程為：(x-3)2+(y-

3

2

)2=

81

4

．的方程為：(x-3)2+(y-

3

2

)2=

81

4

．

點評：本題考查了基本不等式的性質、圓的方程，屬于中檔題．