Question

若f（x）=

3

cos²ax-sinaxcosax（a＞0）的圖象與直線y=m（m＞0）相切，并且切點橫坐標依次成公差為π的等差數(shù)列．
（1）求a和m的值；
（2）△ABC中a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊．若（

A

2

，

3

2

）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，且a=4，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦,y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義

專題：綜合題,解三角形

分析：（1）由題意，函數(shù)f（x）的周期為π，且最大（或最小）值為m，利用三角恒等變換可化簡f（x），從而可求結(jié)果；
（2）由（

A

2

，

3

2

）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心可求A，利用正弦定理可把周長化為三角函數(shù)，進而可求答案；

解答： 解：（1）f(x)=

3

cos2ax-sinaxcosax=

3

2

-sin(2ax-

π

3

)，
由題意，函數(shù)f（x）的周期為π，且最大（或最�。┲禐閙，而m＞0，

3

2

-1＜0，
∴a=1，m=

3

2

+1；
（2）∵（

A

2

 ， 

3

2

)是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，
∴sin(A-

π

3

)=0，
又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴A=

π

3

，
△ABC中，則由正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinc

=

a

sinA

=

4

sin π 3

=

8 3

3

，
∴b+c+a=b+c+4=

8 3

3

[sinB+sinC]+4=

8 3

3

[sinB+sin(B+

π

3

)]+4=8sin(B+

π

6

)+4，
∵0＜B＜

2π

3

，
∴b+c+a∈（8，12]．

點評：該題考查正弦定理、兩角和與差的正弦函數(shù)、倍角公式等知識，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．