Question

已知f（x）=cos⁴x-2sinx•cosx-sin⁴x
（1）求f（x）的圖象的對稱軸；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=

2

cos（2x+

π

4

），令2x+

π

4

=kπ解x可得對稱軸；
（2）由x的范圍可得2x+

π

4

的范圍，進(jìn)而可得所求．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=cos⁴x-2sinx•cosx-sin⁴x
=cos⁴x-sin⁴x-2sinx•cosx
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）-2sinx•cosx
=cos²x-sin²x-2sinx•cosx
=cos2x-sin2x=

2

cos（2x+

π

4

），
令2x+

π

4

=kπ可得x=

kπ

2

-

π

8

，
∴f（x）的圖象的對稱軸為x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴cos（2x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]
∴f（x）=

2

cos（2x+

π

4

）∈[-

2

，1]
∴f（x）的值域?yàn)椋篬-

2

，1]

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡，涉及三角函數(shù)的對稱性和值域，屬基礎(chǔ)題．