Question

已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為3的球面上，且PA、PB、PC兩兩互相垂直，則三棱錐P-ABC的側(cè)面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由已知，三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為3的球面上，且PA，PB，PC兩兩垂直，球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線，由基本不等式易得到三棱錐P-ABC的側(cè)面積的最大值．

解答： 解：∵PA，PB，PC兩兩垂直，
又∵三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為3的球面上，
∴以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線即為球的一條直徑．
∴36=PA²+PB²+PC²，
則由基本不等式可得PA²+PB²≥2PA•PB，PA²+PC²≥2PA•PC，PB²+PC²≥2PB•PC，
即36=PA²+PB²+PC²≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
則三棱錐P-ABC的側(cè)面積S=

1

2

（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤18，
則三棱錐P-ABC的側(cè)面積的最大值為18，
故答案為：18

點評：本題考查的知識點是棱錐的側(cè)面積，基本不等式，棱柱的外接球，其中根據(jù)已知條件，得到棱錐的外接球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線，是解答本題的關(guān)鍵．