Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+acosx-2a，對(duì)任意x∈R，都有f（x）＜-2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：函數(shù)f（x）=-cosx²+acosx+1-2a，令t=cosx∈[-1，1]，則有f（x）=-t²+at+1-2a＜-2恒成立，即 t²-at+2a-3＞0 恒成立．令g（t）=t²-at+2a-3，它的對(duì)稱軸為t=

a

2

．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求得a的范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=sin²x+acosx-2a=-cosx²+acosx+1-2a，對(duì)任意x∈R，都有f（x）＜-2恒成立，
令t=cosx∈[-1，1]，則有f（x）=-t²+at+1-2a＜-2恒成立，即 t²-at+2a-3＞0 恒成立．
令g（t）=t²-at+2a-3，它的對(duì)稱軸為t=

a

2

．
故有

a 2 ≤-1 g(-1)=3a-2＞0

 ①，或

-1＜ a 2 ＜1 4(2a-3)-a2 4 ＞0

 ②，或

a 2 ≥1 g(1)=a-2＞0

 ③．
解①求得a∈∅，解②求得a∈∅，解③求得a＞2．
綜上可得，a的范圍是（2，+∞），
故答案為：（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．