Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E為BB₁中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AC⊥D₁E；
（Ⅱ）求DE與平面AD₁E所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）根據(jù)已知中長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側(cè)棱BB₁的中點(diǎn)，結(jié)合長(zhǎng)方體的幾何特征，我們可得D₁D⊥AC，BD⊥AC，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到AC⊥平面BB₁D₁D，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AD₁E的法向量，利用向量的夾角公式，即可求DE與平面AD₁E所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連接BD
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長(zhǎng)方體，
∴D₁D⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD
∴D₁D⊥AC…（1分）
在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=BC
∴BD⊥AC…（2分）
又BD∩D₁D=D
∴AC⊥平面BB₁D₁D，…（3分）      
而D₁E?平面BB₁D₁D
∴AC⊥D₁E…（4分）
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A（1，0，0），D₁（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），

AE

=(0，1，1)，

AD1

=(-1，0，2)，

DE

=(1，1，1)
設(shè)平面AD₁E的法向量為

n

=(x，y，z)，則

-x+2z=0 y+z=0

，
令z=1，則

n

=(2，-1，1)…（8分）
∴cos＜

n

，

DE

＞=

2-1+1

3 • 6

=

2

3

          …（10分）
∴DE與平面AD₁E所成角的正弦值為

2

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，正確運(yùn)用直線與平面垂直的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．