Question

已知函數(shù)f（x）=（2x²-6x+a+6）•e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+（2x-a-4）•e^x，是否存在區(qū)間[m，n]⊆（1，+∞），使得當(dāng)x∈[m，n]時(shí)函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇2m，2n]，若存在求出m，n，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=（2x²-2x+a）•e^x，分別討論a的取值范圍，從而求出其單調(diào)區(qū)間，
（2）由題意：g（x）=（2x²-4x+2）•e^x，假設(shè)存在區(qū)間[m，n]⊆（1，+∞），使得當(dāng)x∈[m，n]時(shí)函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇2m，2n]，即n＞m＞1，通過(guò)討論得出，h（x）在（1，+∞）只存在一個(gè)零點(diǎn)，與方程g（x）=2x有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以不存在m，n符合題意．

解答： 解：（1）f′（x）=（2x²-2x+a）•e^x=[2(x-

1

2

)2+a-

1

2

]•e^x，
①當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，由f′x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＜

1

2

時(shí)，f′（x）＞0，
解得：x＜

1

2

-

1-2b

2

或x＞

1

2

+

1-2b

2

，
（ⅰ）若a≤0，則

1

2

-

1-2b

2

≤0，

1

2

+

1-2b

2

≥1，
∴f（x）在（0，

1

2

+

1-2b

2

）上單調(diào)遞減，在（

1

2

+

1-2b

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
（ⅱ）若0＜a＜

1

2

，則

1

2

+

1-2b

2

≥0，
∴f（x）在（0，

1

2

-

1-2b

2

）和[

1

2

+

1-2b

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
在（

1

2

-

1-2b

2

，

1

2

+

1-2b

2

）上單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，

1

2

+

1-2b

2

），
單調(diào)遞增區(qū)間為[

1

2

+

1-2b

2

，+∞）；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（

1

2

-

1-2b

2

，

1

2

+

1-2b

2

），
單調(diào)遞增區(qū)間為：（0，

1

2

-

1-2b

2

）和[

1

2

+

1-2b

2

，+∞）；
當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為：（0，+∞）．
（2）由題意：g（x）=（2x²-4x+2）•e^x，
∴g′（x）=2（x²-1）•e^x，
假設(shè)存在區(qū)間[m，n]⊆（1，+∞），使得當(dāng)x∈[m，n]時(shí)函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇2m，2n]，即n＞m＞1，
當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，g′（x）=2（x²-1）e^x＞0，
∴g（x）在區(qū)間[m，n]單調(diào)遞增，
∴

g(m)=2m g(n)=2n

，
即方程g（x）=2x有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根，
設(shè)h（x）=g（x）-2x=（2x²-4x+2）e^x-2x，（x＞1），
∴h′（x）=（2x²-2）e^x-2，
設(shè)φ（x）=h′（x）=（2x²-2）e^x-2，
∴φ′（x）=（2x²+4x-2）e^x
x＞1，φ′（x）＞0，
∴φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)增，
又φ（1）=-2＜0，φ（2）=6e²-2＞0，
即存在唯一的1＜x₀＜2使φ（x₀）＜0．
當(dāng)x∈（1，x₀）時(shí)，φ（x₀）＜0，h（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，φ（x₀）＞0，h（x）為增函數(shù)；
∴h（x）在x₀處取到極小值．又h（1）=-2＜0，h（2）=2e²-4＞0，
∴h（x）在（1，+∞）只存在一個(gè)零點(diǎn)，與方程g（x）=2x有兩個(gè)大于1的相異實(shí)根相矛盾，
所以假設(shè)不成立，所以不存在m，n符合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題屬于有一定難度的問(wèn)題．