Question

【題目】已知函數(shù).

（1）解不等式；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)，其中為奇函數(shù)， 為偶函數(shù)，若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（1，3）（2） （3）

【解析】試題分析：

（1）利用換元法并通過解二次不等式可得2＜2x＜8，可得1＜x＜3，即為所求．（2）分離參數(shù)可得在有解，設(shè)，求出函數(shù)在區(qū)間上的值域即為所求范圍．（3）根據(jù)題意求得的解析式，然后通過分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)的最值問題，求解即可．

試題解析：

（1）原不等式即為，

設(shè)t=2x，則不等式化為t﹣t2＞16﹣9t，

即t2﹣10t+16＜0，解得2＜t＜8，

即2＜2x＜8，

∴1＜x＜3

∴原不等式的解集為（1，3）．

（2）函數(shù)在上有零點(diǎn)，

所以在上有解，

即在有解．

設(shè)，

∵，

∴，

∴當(dāng)時， ；當(dāng)時， ．

∴．

∵在有解

∴

故實數(shù)m的取值范圍為．

（3）由題意得，

解得．

由題意得，即

對任意恒成立，

令，則．

則得對任意的恒成立，

∴對任意的恒成立，

因為在上單調(diào)遞減，

∴．

所以．

∴實數(shù)的取值范圍．