Question

已知△ABC是邊長為2的正三角形，P、Q依次是AB、AC邊上的點，且線段PQ將△ABC分成面積相等的兩部分．設(shè)AP=x，AQ=t，PQ=y，求：
（1）t關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）y的最小值與最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用線段PQ將△ABC分成面積相等的兩部分，建立方程，即可求t關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并確定x的范圍；
（2）利用余弦定理和（1）求出的解析式，確定函數(shù)解析式和定義域；
（3）由（2）求出的額解析式和定義域，利用基本不等式求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）由已知得，

1

2

×2×2×sin60°=2×

1

2

×t×x×sin60°，
化簡得tx=2，即t=

2

x

，
由

0＜x≤2 0＜ 2 x ≤2

得，1＜x≤2，
則t=

2

x

，且x∈（1，2]
（2）在△QAP中由余弦定理可知y²=t²+x²-2txcos60°，
則y=

t2+x2-tx

=

4 x2 +x2-2

，且x∈（1，2]
（3）由（2）得，y=

4 x2 +x2-2

，且x∈（1，2]
∴

4

x2

+x2-2≥2

4 x2 ×x2

-2=2，當且僅當

4

x2

=x2，即x=

2

時等號成立，
∴x=

2

時，y_min=

2

當x=1或2時，y_max=

3

．

點評：本題考查三角形面積的計算，考查余弦定理的運用，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．