Question

已知拋物線C₁：y²=8x與雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有公共焦點F₂．點A是曲線C₁，C₂在第一象限的交點，且|AF₂|=5．
（1）求雙曲線交點F₂及另一交點F₁的坐標和點A的坐標；
（2）求雙曲線C₂的方程；
（3）以F₁為圓心的圓M與直線y=

3

x相切，圓N：（x-2）²+y²=1，過點P（1，

3

）作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l₁和l₂，設l₁被圓M截得的弦長為s，l₂被圓N截得的弦長為t，問：

s

t

是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由拋物線C₁：y²=8x的焦點能求出雙曲線交點F₂及另一交點F₁的坐標，由拋物線定義能求出點A的坐標．
（2）由已知條件推導出

b2=4-a2 9 a2 - 24 b2 =1

，由此能求出雙曲線C₂的方程．
（3）設圓M的方程為：（x+2）²+y²=r²，設l₁的方程為kx-y+

3

-k=0，設l₂的方程x+ky-

3

k-1=0，由此利用點到直線距離公式結合已知條件能求出

s

t

是定值

3

．

解答： 解：（1）∵拋物線C₁：y²=8x的焦點為F₂（2，0），
∴雙曲線C₂的焦點為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
設A（x₀，y₀），∵A在拋物線C1：y2=8x上，且|AF₂|=5，
由拋物線定義得x₀+2=5，∴x0=3，y02=8×3，∴y0=±2

6

，
∴A（3，2

6

）或A（3，-2

6

）．
（2）由（1）知雙曲線的半焦距c=2，且雙曲線過焦點，
∴

b2=4-a2 9 a2 - 24 b2 =1

，解得a=1，b=

3

，
∴雙曲線C₂的方程為x2-

y2

3

=1．
（3）

s

t

為定值．說明如下：
設圓M的方程為：（x+2）²+y²=r²，
∵圓M與直線y=

3

x相切，
∴圓M的半徑為r=

2 3

1+( 3 )2

=

3

，
∴圓M：（x+2）²+y²=3，
由題意知當直線l₁的直線不存在時不符合題意，
∴l(xiāng)₁的直線的斜率存在，設l₁的方程為y-

3

=k(x-1)，
即kx-y+

3

-k=0，
設l₂的方程為y-

3

=-

1

k

(x-1)，即x+ky-

3

k-1=0，
∴點F₁到直線l₁的距離為d1=

|3k- 3 |

1+k2

，
點F₂到直線l₂的距離為d₂=

| 3 k-1|

1+k2

，
∴直線l₁被圓M截得的弦長S=2

3-( 3k- 3 1+k2 )2

=2

6 3 k-6k2 1+k2

，
直線l₂被圓截得的弦長t=2

1-( 3 -1 1+k2 )2

=1

2 3 k-2k2 1+k2

，
∴

S

t

=

6 3 k-6k2 2 3 k-2k2

=

6( 3 k-k2) 2( 3 k-k2)

=

3

，
∴

s

t

是定值

3

．

點評：本題考查點的坐標的求法，考查雙曲線方程的求法，考查兩條弦長的比值是否為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．