Question

已知函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+

1

2

ax2-3x，g（x）=xlnx
（Ⅰ）當(dāng)a=4時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[

1

e

，e]（x₁≠x₂），使方程f′（x）=2g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=4時，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）分類討論，確定函數(shù)g（x）在區(qū)間[t，t+1]（t＞0）上的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值；
（Ⅲ）由f'（x）=2g（x）可得-x²+ax-3=2xlnx，分離參數(shù)，求出函數(shù)的值域，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=-x²+ax-3…（1分）
當(dāng)a=4時，f'（x）=-x²+4x-3，令f'（x）＞0得1＜x＜3…（2分）
∴當(dāng)a=4時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，3），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，1），（3，+∞）．…（3分）
（Ⅱ）g'（x）=lnx+1，令g'（x）＞0，得x＞

1

e

…（4分）
①當(dāng)t≥

1

e

時，在區(qū)間[t，t+1]上g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（t）=tlnt…（5分）
②當(dāng)0＜t＜

1

e

時，在區(qū)間[t，

1

e

)上g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，…（6分）
在區(qū)間(

1

e

，t+1]上g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，…（7分）
∴g(x)min=g(

1

e

)=-

1

e

…（8分）
（III） 由f'（x）=2g（x）可得-x²+ax-3=2xlnx
∴a=x+2lnx+

3

x

，…（9分）
令h(x)=x+2lnx+

3

x

，則h′(x)=1+

2

x

-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

…（10分）

x	( 1 e ，1)	1	（1，e）
h'（x）	-	0	+
h（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

…（12分）
h(

1

e

)=

1

e

+3e-2，h（1）=4，h(e)=e+2+

3

e

h(e)-h(

1

e

)=4-2e+

2

e

＜0…（13分）
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(4，e+2+

3

e

]…（14分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．