Question

已知數(shù)集X={x₁，x₂，…，x_n}（其中x_i＞0，i=1，2，…，n，n≥3），若對(duì)任意的x_k∈X（k=1，2，…n），都存在x_i，x_j∈X（x_i≠x_j），使得下列三組向量中恰有一組共線：
①向量（x_i，x_k）與向量（x_k，x_j）；
②向量（x_i，x_j）與向量（x_j，x_k）；
③向量（x_k，x_i）與向量（x_i，x_j），則稱X具有性質(zhì)P，例如{1，2，4}具有性質(zhì)P．
（1）若{1，3，x}具有性質(zhì)P，則x的取值為

 

（2）若數(shù)集{1，3，x₁，x₂}具有性質(zhì)P，則x₁+x₂的最大值與最小值之積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平行向量與共線向量

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得：（1，3）與（3，x）；（1，x）與（x，3）；（3，1）與（1，x）中恰有一組共線，分別求出相應(yīng)的x的值即可；
（2）由（1）知，可得x₁=

1

3

，

3

，9，再利用新定義驗(yàn)證，得到{1，3，

1

3

，x₂}具有性質(zhì)P時(shí)的x₂=

1

27

，

1

9

，

3

3

，

3

，9，27，
同理分別得到{1，3，

3

，x₂}以及{1，3，9，x₂}具有性質(zhì)P時(shí)的x₂的值，即可得到x₁+x₂的最大值與最小值之積．

解答： 解：（1）由題意可得：（1，3）與（3，x）；（1，x）與（x，3）；（3，1）與（1，x）中恰有一組共線，
當(dāng)（1，3）與（3，x）共線時(shí)，可得x=9，此時(shí)另外兩組不共線，符合題意，
當(dāng)（1，x）與（x，3）共線時(shí)，可得x=

3

，此時(shí)另外兩組不共線，符合題意，
當(dāng)（3，1）與（1，x）共線時(shí)，可得x=

1

3

，此時(shí)另外兩組不共線，符合題意，
故x的取值為：

1

3

，

3

，9；
（2）由（1）的求解方法可得x₁=

1

3

，

3

，9，
當(dāng)x₁=

1

3

時(shí)，由數(shù)集{1，3，

1

3

，x₂}具有性質(zhì)P，
①若（1，3）與（3，x₂）；（1，x₂）與（x₂，3）；（3，1）與（1，x₂）中恰有一組共線，可得x₂=9，

3

；
②若（1，

1

3

）與（

1

3

，x₂）；（1，x₂）與（x₂，

1

3

）；（

1

3

，1）與（1，x₂）中恰有一組共線，可得x₂=

3

3

，

1

9

；
③若（3，

1

3

）與（

1

3

，x₂）；（3，x₂）與（x₂，

1

3

）；（

1

3

，3）與（3，x₂）中恰有一組共線，可得x₂=

1

27

，27；
故{1，3，

1

3

，x₂}具有性質(zhì)P可得x₂=

1

27

，

1

9

，

3

3

，

3

，9，27；
同理當(dāng)x₁=

3

時(shí)，{1，3，

3

，x₂}具有性質(zhì)P可得x₂=

1

3

，

3

3

，

4	3

，

4	27

，3

3

，9；
同理當(dāng)x₁=9時(shí)，可得x₂=

1

9

，

1

3

，

3

3

，

3

，3

3

，27，81；
則x₁+x₂的最大值為90，最小值為

1

3

+

1

27

=

10

27

，
故x₁+x₂的最大值與最小值之積為90×

10

27

=

100

3

．
故答案為：（1）

1

3

，

3

，9；（2）

100

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查平面向量共線的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．