【題目】
設(shè)函數(shù)f(x)=alnx﹣bx2(x>0).
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處于直線相切,求函數(shù)f(x)在上的最大值;
(2)當(dāng)b=0時(shí),若不等式f(x)≥m+x對所有的a∈[1,],x∈[1,e2]都成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(﹣∞,2﹣e2].
【解析】試題分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo),利用函數(shù)在處與相切,可得關(guān)于方程,求出,再利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,結(jié)合單調(diào)性求得函數(shù)最大值.(Ⅱ)用分離變量法,將原問題轉(zhuǎn)化為,對所有的,構(gòu)造函數(shù)利用一次函數(shù)單調(diào)性,求出最小值,再進(jìn)一步利用函數(shù)單調(diào)性,求出最小值后可得的范圍.
試題解析:(Ⅰ)∵f′(x)=﹣2bx,
又函數(shù)f(x)在x=1處與直線y=﹣相切,
∴,解得.
f(x)=lnx﹣x2,f′(x)=﹣x=﹣,
當(dāng)x∈[,1),f′(x)<0,f(x)遞增,
當(dāng)x∈(1,e],f′(x)>0,f(x)遞減.
即有f(x)的最大值為f(1)=﹣;
(Ⅱ)當(dāng)b=0時(shí),f(x)=alnx,
若不等式f(x)≥m+x對所有的a∈[1,],x∈[1,e2]都成立,
即m≤alnx﹣x對所有的a∈[1,],x∈[1,e2]都成立,
令h(a)=alnx﹣x,則h(a)為一次函數(shù),
∴m≤h(a)min.
∵x∈[1,e2],∴l(xiāng)nx≥0,
∴h(a)在[1,]上單調(diào)遞增,
∴h(a)min=h(1)=lnx﹣x,
∴m≤lnx﹣x對所有的x∈(1,e2]都成立.
由y=lnx﹣x(1<x≤e2)的導(dǎo)數(shù)為y′=﹣1<0,
則函數(shù)y=lnx﹣x(1<x≤e2)遞減,
∵1<x≤e2,∴l(xiāng)nx﹣x≥2﹣e2,
則m≤2﹣e2.
則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(﹣∞,2﹣e2]
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),與的公共弦的長為.
(1)求的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與相交于,兩點(diǎn),與相交于,兩點(diǎn),且與同向
(ⅰ)若,求直線的斜率
(ⅱ)設(shè)在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為,證明:直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),總是鈍角三角形
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率.以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長為8,面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),直線的方程為,求證:直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的一塊木料中,棱BC平行于面A′C′.
(Ⅰ)要經(jīng)過面A′C′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開,應(yīng)怎樣畫線?
(Ⅱ)所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2 , a4的等差中項(xiàng).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=anlog an , 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為( 為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸 建立極坐標(biāo)系,圓的方程為.
(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,圓與直線交于A,B兩點(diǎn),求的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且橢圓的焦距為2.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),過作軸且與橢圓交于另一點(diǎn), 為橢圓的右焦點(diǎn),求證:三點(diǎn)在同一條直線上.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了讓學(xué)生了解環(huán)保知識,增強(qiáng)環(huán)保意識,某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”,共有800名學(xué)生參加了這次競賽.為了解本次競賽成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì). 請你根據(jù)尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖,解答下列問題:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
50.5~60.5 | 6 | 0.08 |
60.5~70.5 | 0.16 | |
70.5~80.5 | 15 | |
80.5~90.5 | 24 | 0.32 |
90.5~100.5 | ||
合計(jì) | 75 | 1.00 |
(1)填充頻率分布表的空格;
(2)補(bǔ)全頻率分布直方圖;
(3)根據(jù)頻率分布直方圖求此次“環(huán)保知識競賽”的平均分為多少?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8,方差是3.6,若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60,得到一組新數(shù)據(jù),則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是( )
A.57.2,3.6
B.57.2,56.4
C.62.8,63.6
D.62.8,3.6
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com