Question

18．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，已知a-b=2，c=4，sinA=2sinB，則△ABC的面積為$\sqrt{15}$，sin（2A-B）=$\frac{7\sqrt{15}}{32}$．

Answer 1

分析 由sinA=2sinB結(jié)合正弦定理可得：a=2b，又a-b=2，即可解得b，a，由余弦定理可得cosB，求得sinB，利用三角形面積公式可求面積；由已知求得sinA，可求cosA，利用兩角和的正弦函數(shù)公式及二倍角公式化簡所求后即可得解．

解答 解：∵sinA=2sinB，c=4，
∴由正弦定理可得：a=2b，又a-b=2，即可解得：b=2，a=4，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{16+16-4}{2×4×4}$=$\frac{7}{8}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×4×4×$$\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\sqrt{15}$．
∴A為銳角，sinA=2sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{1}{4}$，
∴sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2AsinB=2sinAcosAcosB-（1-2sin²A）sinB=2×$\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{1}{4}×\frac{7}{8}$-（1-2×$\frac{15}{16}$）×$\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{7\sqrt{15}}{32}$．
故答案為：$\sqrt{15}$，$\frac{7\sqrt{15}}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．