Question

已知集合M={x|x=m+

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n，m、n∈Z}
（1）若t∈Z，試判斷t是否是集合M的元素；
（2）若x₁、x₂∈M，試判斷x₁+x₂及x₁x₂是否屬于集合M，如果屬于，請(qǐng)給出證明；若不屬于，請(qǐng)給出反例．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分當(dāng)n≠0和當(dāng)n=0兩種情況，利用M中元素的形態(tài)分別討論t與M的關(guān)系．
（2）若x₁、x₂∈M，則x₁=a+

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b，x₂ =c+

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d，且a、b、c、d∈Z，分別考查x₁+x₂ 和x₁•x₂ 的形態(tài)，從而確定它們與集合M的關(guān)系．

解答： 解：（1）∵M(jìn)={x|x=m+

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n，m、n∈Z}，∴當(dāng)n≠0時(shí)，x為無理數(shù)，若t∈Z，則t是不是集合M的元素．
當(dāng)n=0時(shí)，x為整數(shù)，若t∈Z，則t是集合M的元素．
（2）若x₁、x₂∈M，則x₁=a+

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b，x₂ =c+

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d，且a、b、c、d∈Z，
∴x₁+x₂=a+c+（b+d）

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，仍是m+

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n，m、n∈Z的形式，故x₁+x₂ 屬于集合M．
根據(jù) x₁x₂ =ac+2bd+（ad+bc）

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，仍是m+

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n，m、n∈Z的形式，故x₁x₂ 屬于集合M．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查元素與集合的關(guān)系的判定，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．