在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥面ABCD,E為PD之中點(diǎn),PA=2AB=2
(Ⅰ)求證:CE∥面PAB;
(Ⅱ)求二面角C-PD-A的平面角的正弦;
(Ⅲ)在PC上是否存在點(diǎn)F使得PC⊥面AEF,若存在,說(shuō)明位置:若不存在,說(shuō)明理由.
考點(diǎn):直線與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專(zhuān)題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(Ⅰ)取AD中點(diǎn)F,連接EF、CF,利用三角形中位線,得出EF∥PA,從而EF∥平面PAB.在平面四邊形ABCD中,通過(guò)內(nèi)錯(cuò)角相等,證出CF∥AB,從而CF∥平面PAB.最后結(jié)合面面平行的判定定理,得到平面CEF∥平面PAB,所以CE∥平面PAB;
(Ⅱ)分別求出S△PAD=
1
2
•2•4
=4,S△PCD=
1
2
•2
2
•2
3
=2
6
,可得cosα=
4
2
6
=
6
3
,即可求二面角C-PD-A的平面角的正弦;
(Ⅲ)在PC上是存在PC的中點(diǎn)F使得PC⊥面AEF,利用線面垂直的判定定理,即可得出結(jié)論.
解答: (Ⅰ)證明:取AD中點(diǎn)F,連接EF、CF
∴△PAD中,EF是中位線,可得EF∥PA
∵EF?平面PAB,PA⊆平面PAB,∴EF∥平面PAB
∵Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,∴AC=
AB
cos60°
=2
又∵Rt△ACD中,∠CAD=60°,
∴AD=4,結(jié)合F為AD中點(diǎn),得△ACF是等邊三角形
∴∠ACF=∠BAC=60°,可得CF∥AB
∵CF?平面PAB,AB?平面PAB,∴CF∥平面PAB
∵EF、CF是平面CEF內(nèi)的相交直線,
∴平面CEF∥平面PAB
∵CE⊆面CEF,∴CE∥平面PAB;
(Ⅱ)解:由題意,Rt△PAD中,PA=2,AD=4,S△PAD=
1
2
•2•4
=4.
Rt△PCD中,PC=2
2
,CD=2
3
,S△PCD=
1
2
•2
2
•2
3
=2
6

設(shè)二面角C-PD-A的平面角為α,則cosα=
4
2
6
=
6
3
,
∴sinα=
3
3
;
(Ⅲ)解:在PC上是存在PC的中點(diǎn)F使得PC⊥面AEF,證明如下:
∵PA=AC=2,F(xiàn)為PC的中點(diǎn),
∴PC⊥AF,
∵E為PD之中點(diǎn),F(xiàn)為PC的中點(diǎn),
∴EF∥CD,
∵PC⊥CD,
∴PC⊥EF,
∵AF∩EF=F,
∴PC⊥面AEF.
點(diǎn)評(píng):本題給出特殊的四棱錐,求證線面平行、垂直并求二面角C-PD-A的平面角的正弦,著重考查了空間直線與平面平行的判定、垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖PA是圓O的切線,切點(diǎn)為A,PA=2,AC是圓O的直徑,PC與圓O交于點(diǎn)B,PB=1,則圓O的半徑R=( 。
A、2
B、3
C、
2
D、
3

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設(shè)a<0,函數(shù)f(x)=
1+x
+
1-x
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1-x2

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(。┣驢(a)的表達(dá)式;
(ⅱ)試求滿足H(a)=H(
1
a
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計(jì)算:
1
1×3
+
1
2×4
+
1
3×5
+…+
1
9×11

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B
2

(1)求角A的值;
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3
,求b+c的最大值.

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an
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1
an
+1.
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π
6
)=1,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=
2
cos(θ-
π
4

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