Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x²-x-1）e^-x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）關(guān)于x的方程f（x）=a在區(qū)間[-1，4]上有兩個(gè)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令f′（x）=0，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）由題知，只需要函數(shù)y=f（x） 和函數(shù)y=a 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)即可．

解答： 解：（1）f'（x）=-x（x-3）e^-x，由f'（x）=0，解得x=0或3，
則x，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，3）	3	（3，+∞）
f’（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值-1	↗	極大值5e-3	↘

由上表得，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，3），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（3，+∞）；
當(dāng)x=0時(shí)f（x）有極小值-1，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極大值5e^-3．
（2）由題知，只需要函數(shù)y=f（x） 和函數(shù)y=a 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)即可．
∵（f（-1）=e，f（4）=11e^-4，
∴f（-1）＞f（3）＞f（4）＞f（0）
由（1）知f（x）在，當(dāng)[-1，0）上單調(diào)遞減，（0，3）上單調(diào)遞增，在（3，4]在上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)a=5e^-3或-1＜a＜11e^-4時(shí)，y=f（x） 和y=a 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．
即方程f（x）=a在區(qū)間[-1，4]上有兩個(gè)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，本題滲透了轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題．