Question

12．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)，且2|F₁F₂|-|MF₁|=|MF₂|，過橢圓焦點(diǎn)垂直于長軸的半弦長為$\frac{3}{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若存在以原點(diǎn)為圓心的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，求出該圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由2|F₁F₂|-|MF₁|=|MF₂|，得2|F₁F₂|=|MF₁|+|MF₂|，結(jié)合過橢圓焦點(diǎn)垂直于長軸的半弦長為$\frac{3}{2}$，以及隱含條件列出方程，求出a、b，即可求橢圓E的方程；
（2）假設(shè)以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓滿足條件．（�。┤魣A的切線的斜率存在，并設(shè)其方程為y=kx+m，則r=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），結(jié)合x₁x₂+y₁y₂=0，即可求圓的方程；（ⅱ）若AB的斜率不存在，設(shè)A（x₁，y₁），則B（x₁，-y₁），利用$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，求出半徑，得到圓的方程，綜合以上可得存在以原點(diǎn)為圓心的圓x²+y²=$\frac{12}{7}$滿足題設(shè)條件．

解答 解：（1）由題2|F₁F₂|-|MF₁|=|MF₂|，知2|F₁F₂|=|MF₁|+|MF₂|，
即2×2c=2a，得a=2c．
又由$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}$，得$^{2}=\frac{3}{2}a$，
且a²=b²+c²，綜合解得c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）假設(shè)以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓滿足條件．
（�。┤魣A的切線的斜率存在，并設(shè)其方程為y=kx+m，則r=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
r²=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+1}$，①
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即4（1+k²）（m²-3）-8k²m²+3m²+4k²m²=0，
化簡得m²=$\frac{12}{7}$（k²+1），②
由①②求得r²=$\frac{12}{7}$．
所求圓的方程為x²+y²=$\frac{12}{7}$；
（ⅱ）若AB的斜率不存在，設(shè)A（x₁，y₁），則B（x₁，-y₁），
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，得x=$\frac{12}{7}$．
此時(shí)仍有r²=|x|=$\frac{12}{7}$．
綜上，總存在以原點(diǎn)為圓心的圓x²+y²=$\frac{12}{7}$滿足題設(shè)條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，是與向量相結(jié)合的綜合問題．考查分析問題解決問題的能力．體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．