Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的公比q．
（2）若a₁-a₃=3，求S_n，并討論S_n的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a₂+2a₃=0，由此能求出公比q．
（2）由a₁-a₃=3，解得a₁=4，從而求出Sn=

8

3

[1-(-

1

2

)n]，由此利用分類討論思想能求出S_n的最大值．

解答： 解：（1）由已知得2（a₁+a₂+a₃）=a₁+（a₁+a₂），
即a₂+2a₃=0，
∴q=

a3

a2

=-

1

2

．
（2）由a₁-a₃=3，得

3

4

a1=3，解得a₁=4，
∴Sn=

8

3

[1-(-

1

2

)n]．（10分）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=

8

3

[1+（

1

2

）ⁿ]，∴（S_n）_max=

8

3

(1+

1

2

)=4．（12分）
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=

8

3

[1-（

1

2

）ⁿ]＜

8

3

．（14分）
∴S_n的最大值為4．（15分）

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的公比的求法，考查數(shù)列的極大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．