Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

x+2

，a，b∈（0，+∞），
（Ⅰ）用分析法證明：f（

a

b

）+f（

b

a

）≤

2

3

；
（Ⅱ）設(shè)a+b＞4，求證：af（b），bf（a）中至少有一個大于

1

2

．

Answer 1

考點：反證法與放縮法

專題：證明題,反證法

分析：（Ⅰ）分析法是從求證的不等式出發(fā)，找到使不等式成立的充分條件，把證明不等式的問題轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具有的問題；
（Ⅱ）反證法的步驟：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．

解答： 證明：（Ⅰ）要證明f（

a

b

）+f（

b

a

）≤

2

3

，
只需證明

1

a b +2

+

1

b a +2

≤

2

3

，
只需證明：

b

a+2b

+

a

b+2a

≤

2

3

，
只需證明：

b2+4ab+a2

2a2+5ab+2b2

≤

2

3

，
只需證明：（a-b）²≥0，
顯然成立，
∴f（

a

b

）+f（

b

a

）≤

2

3

；
（Ⅱ）假設(shè)af（b），bf（a）中都小于等于

1

2

，則

a

b+2

≤

1

2

，

b

a+2

≤

1

2

，
∴2a≤b+2，2b≤a+2，
兩式相加可得a+b≤4，
這與a+b＞4，矛盾，
∴af（b），bf（a）中至少有一個大于

1

2

．

點評：本題主要考查用分析法證明不等式，把證明不等式轉(zhuǎn)化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經(jīng)具備為止．