Question

已知|

a

|=4，|

b

|=2，且

a

與

b

夾角為120°求：
（Ⅰ）（

a

+3

b

）•（

a

-3

b

）；
（Ⅱ）

a

與

a

+

b

的夾角θ．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）（

a

+3

b

）•（

a

-3

b

）=

a

2-9

b

2，代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算可得；（Ⅱ）由已知數(shù)據(jù)可得

a

•（

a

+

b

）和|

a

+

b

|的值，而cosθ=

a •( a + b )

| a || a + b |

，代入計(jì)算可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵|

a

|=4，|

b

|=2，且

a

與

b

夾角為120°，
∴（

a

+3

b

）•（

a

-3

b

）=

a

2-9

b

2
=4²-9×2²=-20；
（Ⅱ）：|

a

|=4，|

b

|=2，且

a

與

b

夾角為120°，
∴

a

•（

a

+

b

）=

a

2+

a

•

b

=16+4×2×（-

1

2

）=12，
|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

a 2+ a • b + b 2

=

16+4×2×(- 1 2 )+4

=4
∴cosθ=

a •( a + b )

| a || a + b |

=

12

4×4

=

3

4

∴

a

與

a

+

b

的夾角θ=arccos

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，涉及模長(zhǎng)公式和夾角公式，屬基礎(chǔ)題．