Question

已知：在△ABC中，內(nèi)角∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若a=2，sinA=

21

7

，∠C=

π

3

，求△ABC的外接圓與內(nèi)切圓半徑之比．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：由a，sinA的值，利用正弦定理求出R的值，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式求出sinB的值，利用正弦定理求出b與c的值，根據(jù)三角形周長(zhǎng)乘以內(nèi)切圓半徑r的一半為三角形面積，利用三角形面積公式求出r的值，即可確定出R與r之比．

解答： 解：∵a=2，sinA=

21

7

，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=2R（R為外接圓半徑），
即R=

2

2× 21 7

=

21

3

，
∵sinA=

21

7

，∴cosA=

1-sin2A

=

2 7

7

，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

21

7

×

1

2

+

2 7

7

×

3

2

=

3 21

14

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：b=

asinB

sinA

=

2× 3 21 14

21 7

=3，c=

asinC

sinA

=

2× 3 2

21 7

=

7

，
∵S_△ABC=

1

2

r（a+b+c）=

1

2

absinC（r為內(nèi)切圓半徑），
∴r=

absinC

a+b+c

=

2 7 × 3 2

2+3+ 7

=

5 21 -7 3

18

，
則R：r=

21

3

：

5 21 -7 3

18

=

15+3 7

9

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．