Question

把函數(shù)y=log_ax（a＞0，且a≠1）的圖象上所有的點向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度后得到函數(shù)y=f（x）的圖象，已知函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過定點A（m，n）．若方程kx²+mx+n=0有且僅有一個零點，則實數(shù)k的值為

 

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Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由對數(shù)函數(shù)的圖象恒過（1，0），得到平移后的函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點，從而求得m，n的值，代入方程后分方程為一次方程和二次方程求得使方程有且僅有一個零點的k的值．

解答： 解：∵函數(shù)y=log_ax（a＞0，且a≠1）的圖象恒過點（1，0），
把函數(shù)y=log_ax（a＞0，且a≠1）的圖象上所有的點向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度后得到函數(shù)y=f（x）的圖象過定點（-1，-1），
則m=-1，n=-1．
∵方程kx²+mx+n=0有且僅有一個零點，
∴當(dāng)k=0時，方程kx²+mx+n=0化為-x-1=0，即x=-1，符合題意；
當(dāng)k≠0時，由方程kx²+mx+n=0有且僅有一個零點，得
m²-4kn=0，
即（-1）²-4k•（-1）=0，
解得：k=-

1

4

．
∴使方程kx²+mx+n=0有且僅有一個零點的實數(shù)k的值為0或-

1

4

．
故答案為：0或-

1

4

．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了函數(shù)零點的求法，是基礎(chǔ)題．