Question

已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

)，設函數f（x）=

m

•

n

（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的零點；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a，b，c，且滿足b²=ac，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理的應用,平面向量的綜合題

專題：綜合題,解三角形

分析：（Ⅰ）利用向量的數量積公式，結合二倍角、輔助角公式化簡函數，再求f（x）在區(qū)間[0，π]上的零點；
（Ⅱ）利用余弦定理，結合b²=ac，基本不等式，可得B的范圍，再求f（B）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）因為向量

m

=(cos

x

2

，-1)，

n

=(

3

sin

x

2

，cos2

x

2

)，函數f(x)=

m

•

n

．
所以f(x)=

3

sin

x

2

cos

x

2

-cos2

x

2

=

3

2

sinx-

1+cosx

2

=

3

2

sinx-

1

2

cosx-

1

2

=sin(x-

π

6

)-

1

2

由f（x）=0，得sin(x-

π

6

)=

1

2

．
∴x-

π

6

=

π

6

+2kπ，或x-

π

6

=

5π

6

+2kπ，k∈Z，
∴x=

π

3

+2kπ，或x=π+2kπ，k∈Z
又x∈[0，π]，
∴x=

π

3

或π．
所以f（x）在區(qū)間[0，π]上的零點是

π

3

、π．
（Ⅱ）在△ABC中，b²=ac，所以cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

ac

2ac

=

1

2

．
由cosB≥

1

2

且B∈（0，π），得B∈(0，

π

3

]，
從而B-

π

6

∈(-

π

6

，

π

6

]
∴sin(B-

π

6

)∈(-

1

2

，

1

2

]，
∴f（B）=sin（B-

π

6

）-

1

2

∈（-1，0]

點評：本題考查三角函數的化簡，考查余弦定理的運用，考查三角函數的性質，正確化簡函數是關鍵，屬于中檔題．