Question

如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，10）．分別將線段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為A₁，A₂…A₉和B₁，B₂…B₉，連結(jié)OB_i，過A_i做x軸的垂線與OB_i交于點(diǎn)P_i（i∈N^*，1≤i≤9）．
（1）求證：點(diǎn)P_i（i∈N^*，1≤i≤9）都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程；
（2）過點(diǎn)C做直線與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，若△OCM與△OCN的面積比為4：1，求直線的方程．
（3）傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線E的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交y軸于點(diǎn)P，證明|FP|+|FP|cos2α為定值，并求此定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）求出直線OB_i的方程與過Ai(i∈N*，1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程聯(lián)立即可得出；
（2）設(shè)直線的方程為y=kx+10，與拋物線的方程聯(lián)立可得關(guān)于x的一元二次方程及其根與系數(shù)的關(guān)系，
再利用面積之比即可得出斜率k．
（3）把直線AB：y=xtanα+

5

2

代入拋物線方程可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出線段ABD的垂直平分線的方程，進(jìn)而得出．

解答： （1）證明：由題意，過Ai(i∈N*，1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為
x=i．
∵B_i（10，i），∴直線OB_i的方程為y=

i

10

x．
設(shè)P_i坐標(biāo)為（x，y），由

x=i y= i 10 x

得：y=

1

10

x2，即x²=10y，
∴P_i（i∈N^*，1≤i≤9）都在同一條拋物線上，
且拋物線E方程為x²=10y．
（2）解：依題意：直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為y=kx+10，
聯(lián)立

y=kx+10 x2=10y

得x²-10kx-100=0，
此時(shí)△=100k²+400＞0，直線與拋物線E恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=10k，x₁x₂=-100，
∵S_△OCM=4S_△OCN，∴|x₁|=4|x₂|．
又x₁x₂＜0，∴x₁=-4x₂．
分別代入

y=kx+10 x2=10y

，解得k=±

3

2

，
直線的方程為y=±

3

2

x+10，即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0．
（3）解：直線AB：y=xtanα+

5

2

代入x²=10y，
整理得：x²-10xtanα+25=0，
設(shè)方程二根為x₁，x₂，則x₁+x₂=10tanα．
設(shè)AB中點(diǎn)M為(5tanα，5tan2α+

5

2

)，
AB的垂直平分線方程是：y=-

1

tanα

(x-5tanα)+5tan2α+

5

2

，
令x=0，則y=5tan2α+

15

2

，得到P(5tan2α+

15

2

，0)，
故|FP|=|OP|-|OF|=5tan²α+5，
于是|FP|+FP|cos2α=10，為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、中檔坐標(biāo)公式、線段的垂直平分線方程等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．