Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a、b∈R）滿足：①f（4+x）=f（4-x）②對一切x∈R，都有f（x）≤x，
（1）求f（x）；
（2）設(shè)集合A={x∈R|f（x）＞0}，B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＜0}，若A∩B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a、b∈R）滿足：①f（4+x）=f（4-x）②對一切x∈R，都有f（x）≤x，可得函數(shù)f（x）=ax²+bx的圖象關(guān)于直線x=4對稱，即f（x）-x=ax²+（b-1）x≤0恒成立，由此求出a，b的值可得答案；
（2）分B=∅和B≠∅兩種情況，分析滿足條件A∩B=B的實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+bx滿足：f（4+x）=f（4-x），
故函數(shù)f（x）=ax²+bx的圖象關(guān)于直線x=4對稱，
故-

b

2a

=4，即b=-8a…①，
又∵對一切x∈R，都有f（x）≤x，
故f（x）-x=ax²+（b-1）x≤0恒成立，
故

a＜0 (b-1)2≤0

…②
解得b=1，a=-

1

8

，
故f（x）=-

1

8

x²+x；
（2）∵集合A={x∈R|f（x）＞0}={x∈R|-

1

8

x²+x＞0}=（0，8），
①若△=9（1+a）²-4×2×6a=9a²-30a+9≤0，則

1

3

≤a≤3，
此時(shí)B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＜0}=∅，滿足A∩B=B，
②若△=9（1+a）²-4×2×6a=9a²-30a+9＞0，則a＜

1

3

或a＞3，
此時(shí)若B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＜0}滿足A∩B=B，
則

0＜ 3(1+a) 4 ＜8 6a＞0 -18a+104＞0

解得：0＜a＜

52

9

∴0＜a＜

1

3

，或3＜a＜

52

9

綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，

52

9

）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求解法，其中求出函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．