Question

某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)試了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：
A配方的頻率分布表

指標(biāo)值分組	〔90，94）	〔94，98）	〔98，102）	〔102，106）	〔106，110〕
頻數(shù)	8	20	42	22	8

B配方的頻率分布表

指標(biāo)值分組	〔90，94）	〔94，98）	〔98，102）	〔102，106）	〔106，110〕
頻數(shù)	4	12	42	32	10

（Ⅰ）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為yy=

-2， t＜94 2 ，94≤t＜102 4，t≥102

從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．（以實(shí)驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由實(shí)驗(yàn)結(jié)果知求出用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率和用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率，由此能求出用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值．
（Ⅱ）用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間[90，94），[94，102），[102，110]的頻率分別為0.04，0.54，0.42，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由實(shí)驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為

22+8

100

=0.3，
所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3．
由實(shí)驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為

32+10

100

=0.42，
所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42
（Ⅱ）用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間[90，94），[94，102），[102，110]
的頻率分別為0.04，0.54，0.42，
因此P（X=-2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，
即X的分布列為

X	-2	2	4
P	0.04	0.54	0.42

X的數(shù)學(xué)期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68．

點(diǎn)評(píng)：本題考查優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．